Matemática - Soluções do Desafio de abril

 1º Ciclo

O aniversário da Joana

Cada uma das raparigas abraça as outras três, assim parece que são 4x3=12 abraços, mas deste modo contávamos como um abraço aquele entre a Joana e a Judite, e como outro aquele entre a Judite e a Joana, contando por duas vezes cada um dos abraços.

Na verdade, há um total de seis abraços.

2º Ciclo

No País das Fadas

 Fada Flor

2 semanas = 8 dias + 8 dias = 16 dias
1 ano = 4 meses = 4 x 6 = 24 semanas = 24 x 8= 192 dias
meio ano = 2 meses = 2 x 6= 12 semanas = 12 x 8 = 96 dias
Dias - 7

Total de dias = 7 + 16 + 192 + 92 = 311 dias

Fada Água

1 ano = 4 meses = 6 x 4= 24 semanas = 24 x 8 = 192 dias
3 meses = 3 x 6= 18 semanas = 18 x 8 = 144 dias
meia semana = 4 dias

Total de dias = 192 + 144 + 4 = 340 dias

Logo, quem nasceu primeiro foi a Fada Água pois tem 340 dias de idade enquanto que a Fada Flor tem apenas 311 dias de idade. Os dias de diferença entre ambas são 29 (340-311=29).

3º Ciclo

A charada das idades!

 Comecemos por relacionar as idades das 3 pessoas e representar a informação do problema por equações.

Para comparar as várias idades temos que usar as mesmas unidades. Recordemos que 1 ano são 12 meses, ou 52 semanas, ou então 365 dias, e representemos as idades do avô, do pai e do amigo do João, em anos, por a, p e n, respetivamente.

O pai tem 52 x p semanas, e o amigo do João tem 365 x n dias. Como estes dois valores são iguais sabemos que 365n = 52p, mas esta equação é equivalente a 365n/52 = 52p/52, que pode ser aproximada por 7n = p.

Por outro lado, o amigo do João tem 12 x n meses, logo 12n = a. Uma vez que o amigo do João, o seu pai e o seu avô, juntos, têm 140 anos, então             n + p + a = 140. Juntando as 3 expressões chegamos a um sistema de 3 equações nas incógnitas n, p e a:

7n = p

12n = a

n + p + a = 140.

Pela segunda equação sabemos que n=a/12, e pela primeira que p=7n =7a/12. Substituindo n e p por estas expressões na terceira equação, obtemos

a / 12 + 7a / 12 + a = 140,  ou seja,

a + 7a + 12a = 12 x 140,

donde a = 12 x 140 / 20, que é igual a 84.

Então, o avô do amigo do João tem aproximadamente 84 anos.

Além disso, podemos dizer que o pai e o amigo do João têm, 42 anos e 7 anos.

Secundário

A idade da Cinderela

 Sejam A, B e C as idades atuais da Ada, Brenda e Cinderela respetivamente, então A = C + 8.

Se a fada madrinha não tivesse acedido aos desejos da Cinderela, as três irmãs receberiam nos próximos dois anos (C+1)(B+1)(A+1)+ (C+2)(B+2)(A+2) moedas, mas vão receber apenas C(B+1)(A+1)+ C(B+2)(A+2).

A diferença entre estes dois valores é de 1382.

A equação que se obtém depois de se simplificar e de substituir A por C+3 é 3BC+5C+29B=1333.

Basta agora procurar as soluções inteiras desta equação, diretamente ou resolvendo em ordem a uma das incógnitas. Resolvendo em ordem a C vem:

C= F(1333-29B:3B+5).

Vamos agora testar todos os valores possíveis de B, começando por B=1. Claro que só nos vão interessar os casos em que se obtenha para C um valor inteiro. Tais soluções encontram-se no quadro seguinte:

	Brenda	Cinderela	Ada
1ª	1	163	171
2ª	3	89	97
3ª	17	15	23
4ª	23	9	17

Note-se que não é necessário continuar para valores de B superiores a 23 pois a Ada deixa de ser mais velha. Pelo que a quarta solução não serve.

As duas primeiras soluções não têm valores aceitáveis. Logo a resposta a este problema será a Cinderela tem 15 anos, a Brenda 17 e a Ada 23.